Theo ngôn ngữ lý thuyết xác suất

Với một sự kiện E bất kì, đặt IE là biến ngẫu nhiên nhận giá trị 1 nếu E xảy ra và nhận giá trị 0 nếu E không xảy ra. Do đó I(|X| ≥ a) = 1 nếu |X| ≥ a và I(|X| ≥ a) = 0 nếu |X| < a. Do đó với mọi a > 0,

a I ( | X | ≥ a ) ≤ | X | . {\displaystyle aI_{(|X|\geq a)}\leq |X|.\,}

Vì vậy

E ⁡ ( a I ( | X | ≥ a ) ) ≤ E ⁡ ( | X | ) . {\displaystyle \operatorname {E} (aI_{(|X|\geq a)})\leq \operatorname {E} (|X|).\,}

Theo tính chất tuyến tính của giá trị kỳ vọng,

a E ⁡ ( I ( | X | ≥ a ) ) = a Pr ( | X | ≥ a ) . {\displaystyle a\operatorname {E} (I_{(|X|\geq a)})=a\Pr(|X|\geq a).\,}

Do đó

a Pr ( | X | ≥ a ) ≤ E ⁡ ( | X | ) {\displaystyle a\Pr(|X|\geq a)\leq \operatorname {E} (|X|)\,}

và do a > 0, ta có thể chia cả hai vế cho a và thu được bất đẳng thức Markov.

Theo ngôn ngữ lý thuyết độ đo

Không mất tính tổng quát giả sử f {\displaystyle f} nhận giá trị không âm do ta chỉ quan tâm đến giá trị tuyệt đối của f {\displaystyle f} . Ta xét hàm s định nghĩa trên tập X như sau

s ( x ) = { ϵ , khi  f ( x ) ≥ ϵ 0 , khi  f ( x ) < ϵ {\displaystyle s(x)={\begin{cases}\epsilon ,&{\text{khi }}f(x)\geq \epsilon \\0,&{\text{khi }}f(x)<\epsilon \end{cases}}}

Hàm s {\displaystyle s} thỏa mãn 0 ≤ s ( x ) ≤ f ( x ) {\displaystyle 0\leq s(x)\leq f(x)} . Theo định nghĩa của tích phân Lebesgue

∫ X f ( x ) d μ ≥ ∫ X s ( x ) d μ = ϵ μ ( { x ∈ X : f ( x ) ≥ ϵ } ) {\displaystyle \int _{X}f(x)\,d\mu \geq \int _{X}s(x)\,d\mu =\epsilon \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \epsilon \})}

và do ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , có thể chia cả hai vế cho ϵ {\displaystyle \epsilon } và thu được

μ ( { x ∈ X : f ( x ) ≥ ϵ } ) ≤ 1 ϵ ∫ X f d μ . {\displaystyle \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \epsilon \})\leq {1 \over \epsilon }\int _{X}f\,d\mu .}